Veinticinco casos originales con datos hipotéticos permiten practicar trabajo, potencia y energía sin confundir fuerza, velocidad y gasto metabólico. Cada solución declara sistema, signos, unidades, supuestos, sustitución y comprobación. Las ilustraciones muestran casos concretos; las cifras no representan mediciones ni prescripciones de entrenamiento.
Cómo leer los balances de estos problemas
Resolver un problema de energía comienza por elegir qué cuerpo o conjunto se estudia y qué cruza su frontera. Después se declaran ejes, referencia y supuestos. Este orden permite distinguir el trabajo de una fuerza del trabajo neto, y evita sumar dos veces una transferencia mediante trabajo y energía potencial.
Todos los datos de los veinticinco casos son hipotéticos y fueron elegidos para estas soluciones. Se usa g = 9,81 m/s² y unidades SI; los ángulos y cadencias proporcionados en otras unidades se convierten antes de sustituir. La dificultad básica exige una relación directa, la media combina balances y la avanzada exige precisar fronteras o hipótesis adicionales.
En una masa puntual de masa constante, Wnet = ΔK. Si se incorpora energía potencial gravitatoria al sistema, el trabajo de las restantes fuerzas cambia K + U; no se añade simultáneamente Wg como una segunda demanda. W puede representar trabajo, mientras W como unidad significa watt: el contexto y la unidad del resultado distinguen ambos usos.
La potencia instantánea es F · v o τω cuando fuerza, velocidad, torque y eje corresponden a la misma referencia. La potencia media es trabajo dividido por duración. El trabajo positivo acumulado de un ciclo puede ser distinto de su trabajo neto firmado. El metabolismo requiere datos independientes y una definición de eficiencia; no se deduce de trabajo mecánico nulo.
25 problemas resueltos paso a paso
Estos veinticinco problemas avanzan desde proyecciones y signos hasta balances con viento y fronteras de eficiencia. Cada enunciado se resuelve por completo y conserva las unidades de sus datos. Las comprobaciones permiten detectar errores de referencia, conversión o interpretación sin sustituir las condiciones científicas que se han declarado para cada caso.
01. La componente que realiza trabajo
Una fuerza de arrastre aplicada mediante un cable no apunta necesariamente en la dirección del desplazamiento. Este caso calcula únicamente el trabajo de ese cable sobre una carga guiada horizontalmente. La proyección permite distinguir la magnitud de la fuerza de la parte que contribuye al trabajo solicitado.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad básica. Un trineo de laboratorio se desplaza 3,20 m hacia +x. El cable ejerce 145 N constantes a 35° sobre la horizontal; en radianes, α = 0,610865. El sistema es el trineo en traslación. La guía mantiene la altura. No se pide el trabajo neto de todas las fuerzas.
Resolución. Se proyecta la fuerza antes de multiplicar. La componente vertical no contribuye porque Δy = 0. La componente horizontal es 118,777 N. El trabajo puede ser positivo aunque exista otra fuerza resistente: la pregunta selecciona una contribución y no asegura que toda ella aumente la energía cinética.
Resultado. El cable realiza aproximadamente +380,09 J. El signo se conserva porque su componente horizontal apunta en el sentido del desplazamiento.
Interpretación. Usar 145 × 3,20 daría 464 J y trataría el cable como horizontal. La diferencia procede de una proyección geométrica, no de una pérdida de energía. Si se necesitara el trabajo neto, habría que añadir las contribuciones de todas las demás fuerzas que actúan sobre el sistema.
Comprobación. Multiplicar 118,777 N por 3,20 m reproduce 380,09 J. El resultado es menor que Fd porque cos 35° está entre cero y uno. Las unidades son N·m, equivalentes a J.
02. Un frenado con trabajo negativo
La disminución de rapidez corresponde a una disminución de energía cinética cuando la masa permanece constante. Un frenado horizontal ideal permite calcular tanto el trabajo neto como la fuerza resistente media. La distancia de frenado interviene en la fuerza, mientras el cambio de energía depende de las velocidades.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad básica. Un implemento de 0,75 kg pasa de 9,00 m/s a reposo a lo largo de 0,65 m. El eje +x coincide con el movimiento inicial. Se supone fuerza neta horizontal constante; gravedad y apoyo se equilibran y no realizan trabajo vertical. Se omiten rotación y deformación del implemento.
Resolución. La energía final es cero y la inicial es mv²/2. Su diferencia fija el trabajo neto sin necesitar la duración del frenado. Como fuerza y desplazamiento son colineales, W = Fx d permite obtener la componente firmada. La fuerza es negativa porque se opone al desplazamiento positivo.
Resultado. El trabajo neto es −30,375 J y la fuerza horizontal constante resulta −46,73 N, con magnitud resistente de 46,73 N.
Interpretación. El trabajo negativo describe una extracción de energía cinética del implemento. No indica energía total negativa ni ausencia de esfuerzo de quien frena. La energía puede terminar en deformación, calor u otros sistemas; el modelo solo contabiliza la frontera mecánica elegida y no cuantifica metabolismo.
Comprobación. La cinemática da a = −9²/(2 × 0,65) = −62,3077 m/s². Al multiplicar por 0,75 kg se obtiene −46,73 N. Un frenado tan breve exige una fuerza relativamente grande para esta masa.
03. Sostener una carga durante un desplazamiento horizontal
Puede existir fuerza aplicada sin trabajo mecánico de esa fuerza cuando el desplazamiento es perpendicular. Una carga transportada idealmente a altura constante permite comprobarlo con números. El resultado pertenece a la carga externa y no describe el consumo energético de la persona que la sostiene durante el recorrido.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad básica. La carga tiene 8,00 kg y recorre 5,00 m horizontalmente sin cambio de altura ni rapidez. El sistema es la carga. Se toma +x horizontal y +y arriba. Solo se consideran soporte vertical de 78,48 N y peso opuesto; se desprecia resistencia horizontal.
Resolución. El trabajo del soporte es su fuerza por la componente vertical del desplazamiento, que vale cero. Lo mismo ocurre con la gravedad. Las fuerzas tienen magnitudes no nulas, pero su producto escalar con Δr = (5,00; 0) m es nulo. La energía cinética permanece constante por el supuesto de rapidez fija.
Resultado. El soporte realiza 0 J, la gravedad realiza 0 J y el trabajo neto sobre la carga también es 0 J.
Interpretación. Este cero no demuestra que sostener resulte fisiológicamente gratuito. La actividad muscular puede requerir energía aunque el punto de aplicación no se desplace verticalmente. Tampoco describe movimientos de piernas, tronco o articulaciones: se ha escogido una carga externa y se han excluido otros segmentos del sistema.
Comprobación. La diferencia de energía cinética y la variación potencial son cero. Calcular peso por distancia horizontal sería incorrecto porque usaría una distancia perpendicular como si fuera paralela. La fuerza de soporte, pese al trabajo nulo, sigue equilibrando el peso.
04. Trabajo con componentes de signos diferentes
En un movimiento bidimensional, cada componente puede contribuir con un signo distinto al trabajo de una misma fuerza. Este caso combina avance horizontal y ascenso, con una fuerza que ayuda al primero y se opone al segundo. La suma algebraica permite conocer el efecto conjunto sin perder esas diferencias.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad básica. Sobre un objeto actúa F = (38; −12) N durante Δr = (2,50; 0,40) m. Los ejes son +x a la derecha y +y arriba. La fuerza se supone constante. Se pide su trabajo específico; no se afirma que sea la resultante ni se asigna una velocidad final.
Resolución. Se multiplican las componentes correspondientes y después se suman. La contribución horizontal es positiva porque fuerza y desplazamiento tienen igual sentido. La vertical es negativa porque la fuerza apunta abajo mientras el objeto sube. Usar magnitudes completas sin su ángulo perdería esa oposición entre componentes.
Resultado. La fuerza considerada realiza +90,20 J: aporta +95,00 J horizontalmente y −4,80 J mediante su componente vertical.
Interpretación. La contribución vertical negativa reduce el trabajo total, pero no anula la contribución horizontal mayor. El signo positivo del total no basta para obtener un cambio cinético: haría falta sumar el trabajo de cualquier otra fuerza. El producto escalar responde primero a la frontera planteada.
Comprobación. Las magnitudes son 39,850 N y 2,532 m. Su producto por el coseno del ángulo entre ambos vectores vuelve a dar 90,20 J. La comprobación conserva el signo y no utiliza una suma de magnitudes absolutas.
05. Elevar sin cambiar la rapidez
Una elevación a velocidad constante puede aumentar energía potencial mientras el trabajo neto sobre la carga es cero. La clave consiste en distinguir el trabajo de la fuerza aplicada del trabajo de la gravedad. Este caso conserva explícitamente ambos términos para evitar contar dos veces el mismo aumento de altura.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad básica. Una carga de 15,00 kg sube 0,60 m con rapidez constante. El sistema es la carga puntual y +z apunta arriba. Se incluyen fuerza elevadora y gravedad; se omiten otras resistencias. En este intervalo, la fuerza elevadora iguala el peso y no cambia la energía cinética.
Resolución. El trabajo elevador es positivo porque fuerza y ascenso coinciden. La gravedad realiza el mismo trabajo con signo negativo. Su suma es cero. Si se introduce energía potencial gravitatoria, el trabajo elevador equivale a ΔU; entonces no se añade además la gravedad al mismo lado como otro coste.
Resultado. El elevador aporta +88,29 J, la gravedad aporta −88,29 J y la energía potencial aumenta 88,29 J. La energía cinética no cambia.
Interpretación. La igualdad entre fuerza aplicada y peso vale por la rapidez constante y la ausencia de otras fuerzas. No establece la fuerza necesaria en un arranque o detención. El trabajo externo tampoco equivale automáticamente al trabajo de un músculo concreto ni a calorías consumidas durante la acción.
Comprobación. La fuerza elevadora es 147,15 N; multiplicada por 0,60 m reproduce 88,29 J. La suma de trabajos coincide con ΔK = 0. El resultado es independiente de cuánto dura el intervalo a rapidez constante.
06. Elevar y acelerar en el mismo intervalo
Cuando una carga asciende y termina con mayor rapidez, la fuerza aplicada debe aportar energía potencial y energía cinética. El trabajo neto sigue asociado exclusivamente al cambio cinético. Este caso calcula ambas contribuciones y obtiene una fuerza constante compatible con el desplazamiento y la rapidez final elegidos.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad media. Una carga de 18,00 kg parte del reposo, asciende 0,40 m y termina a 0,65 m/s hacia arriba. El eje +z es ascendente. Se supone fuerza elevadora constante, gravedad uniforme y ausencia de otras resistencias. La masa es puntual y no se incluye movimiento rotacional.
Resolución. Primero se calcula ΔK = 3,8025 J. El trabajo gravitatorio es −70,632 J. Para que la suma de trabajos sea ΔK, la fuerza aplicada debe realizar 74,4345 J. Dividir ese trabajo por el ascenso obtiene su magnitud; aquí coincide con la fuerza constante, no solo con un promedio espacial.
Resultado. La fuerza aplicada es 186,09 N; realiza +74,4345 J. El trabajo neto es +3,8025 J y el incremento potencial es +70,632 J.
Interpretación. La fuerza supera el peso de 176,58 N porque se exige aceleración ascendente. Asignar 74,4345 J al trabajo neto sería incorrecto: parte compensa el trabajo negativo de gravedad. El incremento cinético es pequeño, pero requiere conservarlo para que fuerza y velocidades sean coherentes entre sí.
Comprobación. La cinemática da a = 0,65²/(2 × 0,40) = 0,528125 m/s². Newton proporciona F = m(g + a) = 186,0863 N, coincidiendo con el balance energético sin utilizar el trabajo como paso intermedio.
07. Descenso con pérdida por fricción
La gravedad puede realizar trabajo positivo cuando el sistema desciende, aunque su energía potencial disminuya. Una resistencia reduce la energía cinética obtenida al final. El ejemplo usa un carro ideal sobre una guía inclinada, con datos inventados, para comparar el balance de trabajo con una comprobación por aceleración.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad media. Un carro de 68,00 kg parte del reposo y recorre 4,50 m descendiendo 1,50 m. Una fricción constante de 55,00 N se opone al recorrido. El eje +s sigue la pendiente abajo. La normal es perpendicular al desplazamiento; se ignoran rotación de ruedas y aire.
Resolución. El trabajo gravitatorio depende del descenso vertical, no de toda la longitud inclinada. La fricción depende del recorrido sobre la guía. Su suma entrega 753,12 J, que se igualan a la energía cinética final del modelo puntual. La velocidad se obtiene mediante una raíz cuadrada, después de dividir por la masa.
Resultado. El trabajo neto es +753,12 J y la rapidez final es 4,71 m/s. La fricción extrae 247,50 J del presupuesto mecánico.
Interpretación. La energía potencial disminuye 1000,62 J, pero solo 753,12 J aparecen como energía cinética de traslación; el resto se transfiere por resistencia. La normal realiza trabajo nulo. Estas cifras describen un modelo de laboratorio, no una indicación para practicar descensos o extrapolar velocidades reales.
Comprobación. La componente gravitatoria sobre la guía es mg(1,50/4,50) = 222,36 N. Restar 55 N y dividir por 68 kg da la aceleración. La relación v² = 2as reproduce 22,1506 m²/s² y la misma rapidez.
08. Aumentar rapidez no aumenta energía en la misma proporción
La energía cinética depende del cuadrado de la rapidez. Por ello, una diferencia entre dos velocidades no puede introducirse directamente en lugar de la diferencia entre sus cuadrados. El caso calcula el trabajo neto sobre un implemento en traslación y contrasta el resultado mediante una identidad algebraica independiente.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad básica. El implemento tiene 3,60 kg y aumenta su rapidez de 1,80 a 3,10 m/s. El eje +x sigue su movimiento. Se supone masa constante y ausencia de energía rotacional. Se solicita el trabajo neto entre estados; no se conoce su reparto entre fuerzas ni la duración.
Resolución. Se calculan por separado las energías inicial y final: 5,832 J y 17,298 J. Al restarlas queda 11,466 J. Esa diferencia representa el trabajo neto. Usar la mitad de m por el cuadrado de 3,10 − 1,80 calcularía otra magnitud y perdería la dependencia de la velocidad inicial.
Resultado. El trabajo neto es +11,466 J. La energía cinética aumenta de 5,832 a 17,298 J durante el intervalo descrito.
Interpretación. Sin una distancia no se puede determinar una fuerza constante equivalente, y sin tiempo no se puede calcular potencia media. La resolución queda completa para la incógnita pedida. No es necesario inventar esos datos para obtener el cambio de energía; sí serían necesarios para formular otra pregunta.
Comprobación. Factorizar vf² − vi² como (vf − vi)(vf + vi) da 1,30 × 4,90 = 6,37 m²/s². Multiplicar por 1,80 kg reproduce 11,466 J. El signo positivo concuerda con el aumento de rapidez.
09. Cambiar el cero de energía potencial
La energía potencial gravitatoria necesita una referencia, pero su variación no depende de dónde se sitúe ese cero. Este caso calcula un ascenso utilizando dos referencias y compara los resultados. Una energía potencial negativa en una de ellas es compatible con la misma física y no indica una energía imposible.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad básica. Un centro de masa puntual de 62,00 kg pasa de z = 0,25 a 0,90 m sobre el suelo. Se toma +z arriba. La referencia A tiene U = 0 en suelo; la B lo tiene a z = 0,40 m. Se pide el cambio potencial con gravedad uniforme.
Resolución. Con A, las energías son mgzi y mgzf. Con B, se resta 0,40 m a ambas alturas antes de multiplicar. La energía inicial con B es negativa porque el punto está debajo de esa referencia. En las dos diferencias, el ascenso sigue siendo 0,65 m y la referencia se cancela.
Resultado. La energía potencial aumenta +395,343 J en ambas referencias. Sus valores absolutos cambian, pero el cambio entre estados permanece idéntico.
Interpretación. Comparar una energía inicial calculada con A y una final calculada con B introduciría un cambio ficticio. Hay que utilizar el mismo cero dentro de cada balance. Tampoco se conoce el trabajo neto sin energía cinética y otras fuerzas: aquí se resuelve únicamente la variación potencial pedida.
Comprobación. La referencia B resta 243,288 J a todos los valores de A. Restar la misma constante en ambos estados no modifica su diferencia. El trabajo de gravedad durante el ascenso sería −395,343 J en cualquiera de las referencias.
10. Recuperar una altura a partir de velocidad vertical
Durante un vuelo vertical ideal, la energía cinética inicial puede convertirse en energía potencial hasta alcanzar el punto más alto. El cálculo entrega una ganancia de altura y una altura respecto al suelo, que son magnitudes diferentes. La referencia elegida permite distinguirlas sin atribuir el resultado a una capacidad humana medida.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad básica. Una pelota de 0,42 kg parte desde 1,15 m sobre el suelo con velocidad vertical de 4,60 m/s hacia arriba. El sistema es la pelota puntual, con +z arriba y U = 0 en el suelo. Se desprecia aire y se analiza el vuelo después del lanzamiento.
Resolución. En el punto más alto, la velocidad es cero. Igualar energía inicial a mghmax permite obtener Δh = v0²/(2g); la masa se cancela. Después se suma la altura inicial para situar el máximo sobre el suelo. La conservación se aplica durante el vuelo ideal, no durante el contacto del lanzamiento.
Resultado. La pelota gana 1,07849 m y alcanza 2,22849 m sobre el suelo. La energía mecánica del vuelo ideal es 9,18183 J.
Interpretación. Usar 2,22849 m como ganancia duplicaría la altura inicial. La cancelación de masa procede del modelo gravitatorio y no implica que lanzar objetos de distinta masa requiera igual esfuerzo. El cálculo no determina energía metabólica del lanzador ni describe un objeto con resistencia del aire relevante.
Comprobación. La energía inicial es 4,4436 J cinéticos más 4,73823 J potenciales. En el máximo, mg × 2,228491 reproduce 9,18183 J. La cinemática vz² = v0² − 2gΔh ofrece el mismo incremento al imponer vz = 0.
11. Identificar una pérdida mecánica antes del contacto
Una velocidad final menor que la predicha por caída ideal puede representarse mediante trabajo resistente durante el vuelo. El ejemplo compara energía potencial liberada y energía cinética observada con datos hipotéticos. Se analiza el instante anterior al contacto, de modo que la pérdida calculada no pertenece a un impacto posterior.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad media. Una pelota de 0,65 kg parte del reposo a 1,80 m sobre el suelo y llega antes del contacto a 5,20 m/s. El eje +z apunta arriba y U = 0 en el suelo. El modelo incluye gravedad y resistencia agregada, sin identificar su dependencia de velocidad.
Resolución. La gravedad aporta 11,4777 J durante el descenso. La energía cinética final es 8,7880 J. El trabajo resistente es su diferencia, −2,6897 J. No puede obtenerse una fuerza instantánea con esos estados, pero sí el trabajo total no conservativo. El instante final excluye expresamente la energía transferida durante el contacto.
Resultado. La resistencia realiza −2,6897 J y la energía mecánica de la pelota disminuye 2,6897 J antes del contacto. El trabajo neto es +8,7880 J.
Interpretación. La pelota acelera aunque su energía mecánica disminuya: gana energía cinética liberando energía potencial y perdiendo una parte mediante resistencia. Confundir energía cinética con toda la energía mecánica ocultaría esa posibilidad. No se atribuye la diferencia a un mecanismo concreto sin medidas adicionales del vuelo.
Comprobación. La rapidez ideal sería √(2gh) = 5,943 m/s, mayor que 5,20 m/s. Además, 11,4777 − 2,6897 = 8,7880 J verifica trabajo neto igual a ΔK. La pérdida tiene signo compatible con una fuerza resistente.
12. Trabajo elástico entre elongaciones no nulas
El trabajo necesario para extender un resorte ideal depende de sus elongaciones inicial y final. No basta con multiplicar su fuerza final por la diferencia de longitud, porque la fuerza cambia durante el recorrido. Este caso calcula la energía almacenada adicional y conserva el signo opuesto del trabajo del resorte.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad media. Un resorte de rigidez k = 420 N/m pasa de x = 0,10 a 0,30 m de elongación. +x apunta hacia una mayor elongación. El movimiento es suficientemente lento para despreciar ΔK y no hay disipación. Se distingue la fuerza aplicada de la fuerza restauradora del resorte.
Resolución. La fuerza aplicada equilibra kx durante el desplazamiento lento. Integrar entre ambas elongaciones proporciona 16,80 J. La fuerza del resorte apunta en sentido contrario y realiza −16,80 J. El aumento de energía elástica corresponde al trabajo aplicado y no debe añadirse otra vez al mismo presupuesto.
Resultado. La energía elástica aumenta 16,80 J; el agente externo realiza +16,80 J y el resorte realiza −16,80 J sobre el punto desplazado.
Interpretación. La energía inicial del resorte es 2,10 J y la final 18,90 J. Su diferencia, no toda la energía final, es el incremento pedido. El modelo permite recuperación ideal al descargar, pero no demuestra recuperación perfecta en una banda real ni equivalencia con eficiencia muscular humana.
Comprobación. Las fuerzas en extremos son 42 y 126 N. Su media de 84 N por 0,20 m reproduce 16,80 J porque la curva es lineal. Usar solo 126 N daría 25,20 J y sobreestimaría el trabajo.
13. Integrar una fuerza que aumenta linealmente
Un cable de un dispositivo puede ejercer una fuerza que cambia con la posición. Si esa dependencia se conoce, el trabajo se calcula como área bajo la curva fuerza y desplazamiento. Este caso utiliza una ley lineal inventada y muestra por qué una fuerza final no representa todo el intervalo.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad media. Una carga guiada horizontalmente recibe Fx(x) = 50 + 180x N, con x en metros, desde x = 0 hasta 0,45 m. +x coincide con el avance. Se solicita trabajo del cable, no trabajo neto. La pendiente tiene unidades N/m y la fuerza permanece positiva.
Resolución. Se integra cada término: la contribución constante produce 22,50 J y la creciente, 18,225 J. La suma es 40,725 J. Se conserva la variable espacial: multiplicar fuerza por tiempo produciría impulso, otra magnitud. Las condiciones de la guía no cambian la definición del trabajo de esta fuerza.
Resultado. El cable realiza +40,725 J y alcanza 131,00 N al final. Sus dos contribuciones suman el trabajo positivo del intervalo.
Interpretación. La fuerza inicial y final pueden resumirse mediante una media espacial porque la dependencia es lineal. Ese recurso dejaría de ser exacto para una curva arbitraria sin información adicional. El signo positivo proviene de una fuerza que mantiene el sentido del desplazamiento durante todo el recorrido.
Comprobación. El área del trapecio con alturas 50 y 131 N y base 0,45 m es [(50 + 131)/2] × 0,45 = 40,725 J. N/m multiplicado por m² produce N·m, confirmando las dimensiones.
14. Trabajo a partir de una curva por tramos
Una curva de fuerza frente a desplazamiento puede resolverse sin una fórmula única si cada tramo tiene una forma conocida. Este caso suma áreas de triángulos y trapecios y después obtiene una rapidez final. La variable horizontal es posición, por lo que el área representa trabajo y no impulso.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad media. Una carga de 2,00 kg parte del reposo en una guía horizontal ideal. Su fuerza neta sigue segmentos rectos entre los puntos (x en m; F en N): (0; 0), (0,08; 160), (0,20; 80), (0,30; 0). +x apunta al avance; se omiten rotación y otras resistencias.
Resolución. El primer tramo forma un triángulo de área 6,40 J. El segundo es un trapecio de 14,40 J y el último otro triángulo de 4,00 J. La suma es 24,80 J. Como la curva corresponde a fuerza neta, ese trabajo equivale a ΔK y puede determinar la rapidez final.
Resultado. El trabajo neto es +24,80 J y la carga termina a 4,98 m/s. Cada área positiva aporta energía cinética de traslación.
Interpretación. La fuerza final es cero, pero el trabajo acumulado no lo es. Una fuerza puede aumentar y luego disminuir manteniendo trabajo positivo durante todo el recorrido. Si el gráfico fuera fuerza frente a tiempo, sus áreas tendrían unidades N·s y no permitirían usar directamente este balance energético.
Comprobación. Insertar 4,97996 m/s en mv²/2 recupera 24,80 J. Las bases de los tres tramos suman 0,30 m y sus alturas se unen sin saltos. Integrar las ecuaciones lineales por tramos reproduce las mismas áreas.
15. Trabajo de torque con el ángulo en radianes
Un torque realiza trabajo cuando el cuerpo gira sobre el eje correspondiente. Para utilizar la expresión torque por ángulo, el ángulo debe escribirse en radianes. Este caso reúne un torque motor y otro resistente, de manera que su suma permita calcular el trabajo neto sin confundirlo con una fuerza.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad media. Un rotor de eje fijo gira 135° en sentido antihorario. Actúan torques constantes de +14 N·m y −3 N·m. θ es positiva antihoraria. La conversión es 135π/180 = 2,356194 rad. Se supone eje inmóvil y únicamente esos torques externos; no se requiere inercia para hallar su trabajo.
Resolución. Se multiplica cada torque por el mismo desplazamiento angular. El motor realiza 32,9867 J y el resistente −7,0686 J. Su suma es 25,9181 J. Usar 135 directamente produciría un error de conversión. El trabajo neto representa el incremento cinético rotacional bajo los supuestos declarados, no el trabajo motor aislado.
Resultado. El trabajo neto es +25,9181 J. El motor y la resistencia realizan, respectivamente, +32,9867 y −7,0686 J durante el giro.
Interpretación. Torque y trabajo comparten dimensionalmente N·m, pero describen magnitudes diferentes. El torque indica una tendencia rotatoria con eje y sentido; el trabajo es una transferencia escalar integrada durante un desplazamiento. Conocer solo el torque no fija el trabajo si se desconoce cuánto y hacia dónde gira el cuerpo.
Comprobación. Con radio equivalente de 0,25 m, el torque neto de 11 N·m corresponde a 44 N tangenciales. El arco es 0,589049 m. Su producto da 25,9181 J, verificando la conversión angular mediante una distancia lineal.
16. Torque variable integrado sobre un giro
Un torque que cambia con el ángulo requiere una integración espacial angular. La fuerza motriz puede aumentar durante el giro mientras una resistencia permanece constante. Este caso calcula las dos contribuciones y utiliza una comprobación por torque medio, válida porque la dependencia angular elegida es lineal.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad avanzada. El rotor gira de θ = 0 a π/2 rad con torque motor τm(θ) = 8 + 4θ N·m y torque resistente de −2 N·m. θ es positiva antihoraria sobre eje fijo. La pendiente tiene unidades N·m/rad. Se consideran únicamente estos torques externos.
Resolución. Integrar el término constante produce 4π J y el proporcional π²/2 J. Su suma es 17,50117 J. La resistencia realiza −π J. La integración utiliza θ en radianes desde el principio y evita sustituir el torque final como si hubiera actuado durante todo el giro.
Resultado. El trabajo neto es +14,35958 J. El motor aporta +17,50117 J y la resistencia extrae 3,141593 J del presupuesto rotacional.
Interpretación. El torque motor termina en 14,2832 N·m, pero multiplicar ese valor por π/2 sobreestimaría su trabajo. La integración conserva todas las posiciones intermedias. El resultado neto se asocia a ΔK rotacional del rotor; para calcular velocidad final sería necesaria además su inercia y el estado inicial.
Comprobación. Los torques netos extremos son 6 y 12,2832 N·m. Su media por π/2 rad da 14,35958 J. Esa comprobación utiliza el área de un trapecio sobre el eje angular, independiente de la antiderivada.
17. Potencia positiva acumulada y potencia neta de un ciclo
Un ciclo puede contener trabajos positivos y negativos cuya suma sea cero. Esa cancelación algebraica no elimina la cantidad de trabajo positivo realizado durante sus fases. El ejemplo calcula dos potencias medias con denominadores temporales iguales y explica por qué sus numeradores describen preguntas mecánicas diferentes.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad media. Una carga de 12,00 kg completa ocho ciclos de subida y bajada entre alturas separadas 0,55 m en 20,00 s. Cada extremo está en reposo y se desprecia disipación adicional. La fuerza del agente es vertical y apunta siempre hacia arriba durante subidas y bajadas. +z apunta arriba. Se contabiliza trabajo del agente que mueve y controla la carga, no su gasto metabólico.
Resolución. En cada ascenso se aumenta energía potencial en 64,746 J. Cada descenso la reduce en igual magnitud mediante trabajo negativo. Las ocho fases positivas suman 517,968 J. Dividirlas por el tiempo total entrega potencia positiva media, mientras la suma firmada de todas las fases entrega cero.
Resultado. La potencia positiva media sobre todo el intervalo es 25,8984 W. La potencia neta media firmada del agente sobre la carga es 0 W.
Interpretación. La primera media no es la media solo durante las subidas: faltaría su duración acumulada. La segunda no significa actividad muscular nula. Un ciclo con retorno a los mismos estados cancela energía externa neta, pero puede requerir transferencias, control y energía metabólica para quien mueve la carga.
Comprobación. La carga vuelve a altura y velocidad iniciales y Δ(K + U) = 0. Los trabajos ±517,968 J se cancelan. Multiplicar 25,8984 W por 20 s recupera el trabajo positivo acumulado, no el neto firmado.
18. Potencia instantánea con fuerza y velocidad oblicuas
La potencia instantánea de una fuerza se obtiene proyectándola sobre la velocidad del punto donde actúa. Si existen componentes horizontales y verticales, pueden contribuir con signos opuestos. El ejemplo utiliza un instante definido y calcula una contribución particular, sin sustituirla por toda la potencia del sistema.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad media. F = (90; 25) N y la velocidad del punto de aplicación es v = (1,40; −0,30) m/s. Se toma +x derecha y +y arriba. Se supone traslación del objeto. Se pide potencia de esa fuerza en este instante; no se identifica como fuerza neta.
Resolución. La contribución horizontal es 126 W, porque ambas componentes apuntan a +x. La vertical es −7,50 W: la fuerza apunta arriba y el punto baja. Sumarlas proporciona 118,50 W. Multiplicar magnitudes sin el ángulo entre ellas no conservaría esa oposición y sobreestimaría la contribución pedida.
Resultado. La fuerza realiza +118,50 W en ese instante, con +126 W horizontales y −7,50 W verticales. Son tasas de trabajo, no energías acumuladas.
Interpretación. Para obtener trabajo durante un intervalo habría que conocer P(t). Mantener 118,50 W durante todo el movimiento sería un supuesto nuevo. La velocidad pertenece al punto de aplicación y a la referencia declarada; una velocidad relativa de otro sistema podría cambiar la potencia calculada.
Comprobación. Si fuerza y velocidad se mantienen durante 0,010 s, el desplazamiento es (0,014; −0,003) m y el trabajo 1,185 J. Dividir por 0,010 s reproduce 118,50 W, comprobando el producto escalar mediante su definición temporal.
19. Torque, cadencia y potencia del eje
La cadencia expresada en revoluciones por minuto necesita convertirse en velocidad angular para calcular potencia mecánica. Un torque constante y un giro uniforme permiten obtener también el trabajo de un intervalo. El resultado pertenece al eje estudiado y no incluye por sí mismo pérdidas de transmisión ni metabolismo.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad media. Un eje recibe torque motor de 23,00 N·m y gira a 72 revoluciones por minuto durante 10,00 s. Su giro es positivo. Se supone torque y velocidad angular constantes; otras resistencias equilibran el movimiento uniforme. Se pide la potencia y el trabajo de la contribución motora.
Resolución. Una revolución equivale a 2π rad y un minuto a 60 s. La velocidad angular es 7,539822 rad/s. Multiplicar por el torque entrega 173,4159 W y en diez segundos se transfieren 1734,159 J. El giro uniforme no elimina esa transferencia: los torques resistentes pueden compensarla sin cambiar la energía cinética.
Resultado. La potencia motora es 173,42 W y su trabajo durante diez segundos es 1734,16 J. El torque motor se distingue del torque neto.
Interpretación. Usar 72 como radianes por segundo produciría una potencia demasiado grande. La conversión reúne unidades angular y temporal. Para convertir potencia del eje en potencia en otro componente haría falta conocer la transmisión; para relacionarla con energía metabólica se requeriría una medición independiente de esa entrada.
Comprobación. En diez segundos ocurren doce revoluciones. El trabajo por revolución es 23 × 2π = 144,5133 J. Multiplicarlo por doce reproduce 1734,159 J sin utilizar primero la expresión de potencia instantánea.
20. Trabajo a partir de una potencia que cambia con el tiempo
Cuando la potencia varía, el trabajo acumulado es el área bajo la curva potencia y tiempo. Una potencia final elevada no significa que esa tasa haya estado presente durante todo el intervalo. El caso utiliza una ley temporal lineal y obtiene trabajo, potencia media y potencia final como resultados distintos.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad media. En una frontera mecánica de un dispositivo se registra P(t) = 80 + 20t W desde t = 0 hasta 6,00 s. El tiempo está en segundos y la pendiente es 20 W/s. La potencia es positiva entrante. No se atribuye el registro al metabolismo ni a una fuerza neta.
Resolución. Integrar la parte constante aporta 480 J y la parte creciente 360 J. El trabajo total es 840 J. Su cociente con seis segundos es 140 W y la potencia final vale 200 W. La dependencia lineal permite comprobar la media mediante las tasas inicial y final.
Resultado. Se transfieren +840 J durante el intervalo. La potencia media es 140 W, mientras la tasa al final es 200 W.
Interpretación. Multiplicar 200 W por seis segundos daría 1200 J, mayor que el trabajo del modelo. Ese error sustituye una tasa variable por su máximo. Las unidades W·s son J; integrar temporalmente potencia e integrar espacialmente fuerza entregan trabajo utilizando variables diferentes.
Comprobación. El trapecio temporal tiene alturas 80 y 200 W y base 6 s. Su área es (80 + 200)/2 × 6 = 840 J. Queda entre los trabajos de mantener constantes las dos potencias extremas.
21. Conservar momentum no conserva necesariamente energía cinética
Un choque adherente ofrece una comparación breve entre dos balances que no son intercambiables. Si el impulso externo es despreciable, la cantidad de movimiento total puede conservarse mientras la energía cinética disminuye. Este caso se limita a calcular esa diferencia, sin desarrollar un procedimiento completo de análisis de impactos.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad media. Dos carros puntuales de 0,30 y 0,50 kg se mueven en una guía horizontal. El primero llega a 4,20 m/s hacia +x y el segundo está en reposo. Tras el choque quedan unidos. Durante el contacto se desprecia impulso externo horizontal; no se supone choque elástico.
Resolución. La cantidad de movimiento inicial es 1,26 kg·m/s. Dividir por la masa unida de 0,80 kg da 1,575 m/s. Se calculan K inicial y final con las masas y velocidades correspondientes. La diferencia es energía cinética transformada, no un error en la conservación del momentum.
Resultado. La energía cinética disminuye 1,65375 J, el 62,50 % de la inicial. La cantidad de movimiento final sigue siendo 1,26 kg·m/s.
Interpretación. La energía total no desaparece: pueden aumentar energía interna y deformación. Conservar K además del momentum impondría una hipótesis incompatible con este choque adherente. El porcentaje pertenece al par de carros y sus estados; no estima una lesión, fuerza máxima de impacto o consecuencia de un contacto humano.
Comprobación. La identidad de pérdida [m1m2/(2(m1 + m2))](v1 − v2)² da 1,65375 J. Verificar 0,80 × 1,575 = 1,26 comprueba el momentum por separado. La rapidez final queda entre las dos iniciales.
22. Dos eficiencias con fronteras diferentes
Una eficiencia mecánica de transmisión y una razón entre trabajo externo y energía metabólica utilizan entradas diferentes. El ejemplo separa ambas mediante dos fronteras y datos independientes inventados. Así puede calcularse una razón combinada sin presentar la pérdida de un dispositivo como si describiera directamente la eficiencia fisiológica de una persona.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad avanzada. Durante 180 s, una persona transfiere 42 000 J a un eje y el dispositivo entrega 36 000 J útiles. La energía metabólica total se fija hipotéticamente en 150 000 J para el mismo intervalo. Se supone ausencia de almacenamiento neto en el dispositivo. Las energías son positivas.
Resolución. La eficiencia del dispositivo es 36 000/42 000 = 0,857143 y sus pérdidas 6000 J. La razón externa bruta de la persona se define como 42 000/150 000 = 0,28. La razón útil combinada es 0,24. Estas definiciones no restan energía basal ni convierten una eficiencia bruta en neta.
Resultado. El dispositivo tiene eficiencia de 85,7143 %; las razones bruta y combinada son 28 % y 24 %. Las potencias medias son 233,33 W en eje, 200 W útiles y 833,33 W metabólicos.
Interpretación. La energía metabólica es un dato hipotético independiente, no una estimación universal a partir del trabajo del eje. Los porcentajes no son valores normativos de un deportista. Comparar protocolos exige conocer qué energía metabólica incluye el denominador y dónde se mide la salida mecánica, usando el mismo intervalo.
Comprobación. El producto 0,857143 × 0,28 reproduce 0,24. El dispositivo cumple 42 000 = 36 000 + 6000 J. Dividir cada energía por 180 s da sus potencias respectivas sin modificar las razones de eficiencia.
23. Viento frontal, potencia sobre el suelo y rodadura
El arrastre aerodinámico depende de velocidad relativa al aire, mientras el trabajo que compensa el avance terrestre utiliza la velocidad sobre el suelo. El caso combina esa distinción con rodadura y eficiencia de transmisión. Todas las condiciones son hipotéticas y se conservan constantes para que el balance resulte identificable.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad avanzada. M = 76 kg, v_g = 9 m/s, w_x = −2 m/s, ρ = 1,18 kg/m³ y CdA = 0,28 m². +x sigue el avance. Se supone llano, movimiento uniforme, Crr = 0,005 y eficiencia de transmisión η = 0,96. El sistema es ciclista y bicicleta.
Resolución. La velocidad relativa es 11 m/s y el arrastre frontal 19,9892 N. Su potencia terrestre es 179,9028 W. La rodadura aporta 33,5502 W. Sumar ambas y dividir por η da la potencia de bielas. Usar Du mezclaría una potencia de otra referencia con el balance terrestre.
Resultado. Se requieren 222,35 W en bielas. La potencia aerodinámica terrestre es 179,90 W; el producto Du es 219,88 W y no sustituye ese término.
Interpretación. El viento intercambia energía y explica la diferencia entre referencias. CdA y Crr constantes son hipótesis, no propiedades universales. Otra postura o firme requerirían datos pertinentes. El resultado no indica cómo probar esfuerzo en tráfico ni permite estimar gasto metabólico individual a partir de esta potencia.
Comprobación. La rodadura ejerce 3,7278 N. Sumarla al arrastre, multiplicar por 9 m/s y dividir por 0,96 reproduce 222,346875 W. También Du − Dv_g = D × 2 = 39,9784 W confirma la diferencia entre referencias.
24. Yaw: fuerza oblicua y potencia de avance
El viento lateral genera una velocidad relativa oblicua. En un modelo de arrastre puro, la fuerza se opone a ese vector, pero solo su proyección sobre la velocidad terrestre determina la potencia de avance. El ejemplo calcula componentes con signos definidos y limita expresamente la interpretación de una bicicleta real.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad avanzada. v_g = (8; 0) m/s, w = (0; −4) m/s, ρ = 1,16 kg/m³ y CdA = 0,27 m². +x sigue el avance y +y es lateral. Se supone coeficiente constante y solo arrastre, sin sustentación, fuerzas adicionales ni momentos de dirección. El sistema es el conjunto ciclista ideal.
Resolución. La velocidad relativa es u = (8; 4) m/s, magnitud 8,944272 m/s y yaw 26,565°. El arrastre vale 12,528 N y se reparte como F = −D u/|u|. Ambas componentes son negativas. El producto escalar terrestre utiliza solo Fx, porque la velocidad lateral terrestre es cero.
Resultado. La potencia resistente terrestre es 89,64 W. La fuerza longitudinal es −11,21 N y la lateral −5,60 N dentro del modelo hipotético.
Interpretación. D × 8 daría 100,224 W y trataría toda la fuerza como longitudinal. El ejemplo no predice fuerza lateral real: CdA puede cambiar con yaw y aparecer otros componentes. Trabajo lateral traslacional nulo con esta velocidad no demuestra ausencia de efectos sobre control o estabilidad.
Comprobación. √(Fx² + Fy²) recupera 12,528 N. Alternativamente, D cos(26,565°) × 8 produce 89,64307 W. La corriente incidente sigue −u y se distingue de la velocidad relativa del ciclista.
25. Intercambiar altura y rapidez en un modelo parcial
Un aumento de energía potencial puede coincidir con una disminución cinética y reducir el cambio de su suma. Este caso construye un ciclo ideal de dos estados para cuantificar esa compensación. El índice calculado pertenece al modelo parcial elegido y no representa eficiencia muscular ni ahorro metabólico de una persona.
Datos, sistema y supuestos. Dificultad avanzada. Un centro de masa de 64 kg alterna A: h = 0,90 m, v_x = 1,40 m/s, y B: h = 0,96 m, v_x = 1,10 m/s. +z apunta arriba. Se usa U + Kx, omitiendo K vertical y segmentos. Cada energía y su suma son monotónicas por tramo A–B–A.
Resolución. De A a B, ΔU = 37,6704 J y ΔKx = −24,00 J; la suma aumenta 13,6704 J. En el regreso se invierten los signos. Los incrementos positivos por ciclo son Wv = 37,6704 J, Wf = 24,00 J y Wext,parcial = 13,6704 J. El supuesto monotónico evita extremos ocultos.
Resultado. El índice de compensación parcial es 77,8331 %. El ascenso requiere 37,6704 J potenciales y coincide con una liberación de 24,00 J cinéticos horizontales.
Interpretación. El índice describe la compensación de dos cambios mecánicos en este ciclo inventado. No mide trabajo muscular total ni energía recuperada por tendones. Sin trayectorias temporales, componentes verticales y movimientos segmentarios, dos estados no bastarían para estimar el trabajo externo de una marcha real.
Comprobación. Calcular U + Kx en cada estado reproduce la diferencia de 13,6704 J. El numerador del índice vale 48,00 J y su denominador 61,6704 J. Queda entre cero y uno y no es una eficiencia metabólica.
Qué aportan los estudios y dónde termina el modelo
Los modelos didácticos ayudan a interpretar una medición cuando se conserva su variable y su frontera. Una investigación puede aportar evidencia sobre trabajo externo o aerodinámica sin convertir las cifras de estos problemas en datos experimentales. Por eso se separan los casos hipotéticos de los hallazgos primarios realmente consultados.
Cavagna, Thys y Zamboni (1976) midieron componentes de trabajo externo y su intercambio durante marcha y carrera. El resumen original muestra que considerar por separado cambios potenciales y cinéticos difiere de analizar su suma. El problema 25 utiliza esa distinción en un modelo parcial inventado: no reproduce sus datos ni estima recuperación individual durante una marcha real.
Defraeye et al. (2010) contrastaron tres posturas con túnel y CFD, mostrando que modelo y montaje importan al interpretar área de arrastre. Los problemas 23 y 24 aplican ecuaciones ideales con datos propios; no transfieren un CdA observado ni describen una simulación CFD ejecutada para estos casos.
Hall y Pérez Ruiz et al. ofrecen el marco mecánico para distinguir trabajo, energía y potencia. Esa distinción permite organizar los balances sin atribuir a las magnitudes mecánicas información metabólica que no contienen.
Preguntas frecuentes
Estas respuestas reúnen las diferencias conceptuales que aparecen a lo largo de la colección. El resultado de cada problema pertenece al sistema y a la referencia declarados. Conservar esa información ayuda a interpretar signos, unidades y porcentajes, especialmente cuando una magnitud mecánica se relaciona con una pregunta sobre actividad humana.
¿Cuándo puede realizarse fuerza sin trabajo mecánico?
Cuando el punto de aplicación no se desplaza o cuando la fuerza es perpendicular a su desplazamiento, el producto escalar es cero. Eso no demuestra consumo metabólico nulo. El problema de la carga horizontal calcula una frontera externa ideal; la persona y sus segmentos requieren otro análisis.
¿El trabajo de la gravedad es siempre negativo?
Su signo depende del desplazamiento. En un descenso realiza trabajo positivo y la energía potencial disminuye; en un ascenso sucede lo contrario. Si se incluye U gravitatoria en el balance, debe evitarse contar además Wg como otra aportación al mismo lado. Los problemas conservan una referencia coherente.
¿Por qué los torques deben multiplicarse por radianes?
La relación W = τΔθ utiliza desplazamiento angular en radianes. Los grados se convierten mediante π/180 antes de sustituir. Aunque torque y trabajo compartan N·m dimensionalmente, son magnitudes diferentes. El torque necesita eje y sentido; el trabajo integra su contribución durante un giro definido.
¿Un trabajo neto cero equivale a energía metabólica cero?
Un ciclo puede cancelar trabajos externos positivos y negativos sin eliminar actividad muscular ni transferencias internas. La energía metabólica debe medirse o declararse mediante datos independientes. Su cociente con una salida mecánica requiere especificar fronteras, duración y si el denominador es bruto, neto o definido de otra manera.
¿Qué velocidad se usa en los problemas aerodinámicos?
La fuerza depende de velocidad relativa al aire. La potencia que compensa el avance respecto al suelo se calcula con −F_air · v_g. Con viento lateral se proyectan componentes; con viento frontal no se sustituye automáticamente v_g por u en la potencia terrestre. Se conservan los supuestos del coeficiente elegido.
Referencias
- Cavagna, G. A., Thys, H., & Zamboni, A. (1976). The sources of external work in level walking and running. The Journal of Physiology, 262(3), 639–657. https://doi.org/10.1113/jphysiol.1976.sp011613.
- Defraeye, T., Blocken, B., Koninckx, E., Hespel, P., & Carmeliet, J. (2010). Aerodynamic study of different cyclist positions: CFD analysis and full-scale wind-tunnel tests. Journal of Biomechanics, 43(7), 1262–1268. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2010.01.025.
- Hall, S. J. (2015). Basic biomechanics (7th ed.). McGraw-Hill Education. Registro bibliográfico.
- Pérez Ruiz, O. A., Villegas Sáez, A. F., & Feito Gácita, A. (2021). Fundamentos de biomecánica deportiva. Editorial Universitaria. Registro bibliográfico.
- Sanz Arazuri, E., & Ponce de León Elizondo, A. (2023). Biomecánica de la actividad física y el deporte: Problemas resueltos. Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones. Documento institucional.